Kongruenz von Dreiecken - Wiederholung (Artikel)

Wiederhole die Dreieckskongruenzsätze und benutze sie um kongruente Dreiecke zu bestimmen.

Also, was ist so toll an den Kriterien der Dreieckskongruenz?

Zwei Figuren sind genau dann kongruent, wenn man die eine Figur durch eine Kongruenzabbildung (Spiegelung, Drehung oder Verschiebung) auf die andere abbilden kann. Da Kongruenzabbildungen längen- und winkeltreu sind, sind alle entsprechenden Seiten und Winkel kongruent. Das bedeutet: Ein Weg, um zu entscheiden, ob zwei Dreiecke kongruent sind, würde darin bestehen, alle Seiten und Winkel auszumessen.

Die Kongruenzsätze bieten uns einen kürzeren Weg! Mit nur $3$ ‍ Maßen können wir oft zeigen, dass zwei Dreiecke kongruent sind.

Jedes Vieleck können wir in Dreiecke zerlegen. Zu zeigen, dass Dreiecke kongruent sind, ist somit auch ein mächtiges Werkzeug beim Umgang mit komplexeren Figuren.

Was sind die Kriterien für eine Kongruenz von Dreiecken?


Seite-Seite-Seite (SSS)	Sind alle drei entsprechenden Seitenpaare kongruent, dann sind die Dreiecke kongruent. Bei $△ A B C$ ‍ und $△ D E F$ ‍ haben wir gegeben: $\overset{―}{A B} ≅ \overset{―}{D E}$ ‍ $\overset{―}{B C} ≅ \overset{―}{E F}$ ‍ $\overset{―}{A C} ≅ \overset{―}{D F}$ ‍ Da sie kongruent sind, können wir $\overset{―}{A B}$ ‍ durch starre Transformationen auf $\overset{―}{D E}$ ‍ abbilden. Starre Transformationen bewahren die Strecke, also liegt $C^{'}$ ‍ im Schnittpunkt zweier Kreise: einem mit dem Mittelpunkt $D$ ‍ und dem Radius $D F$ ‍ und einem mit dem Mittelpunkt $E$ ‍ und dem Radius $E F$ ‍. Der Punkt $F$ ‍ liegt auf beiden Kreisen. Der Punkt $C^{'}$ ‍ muss entweder auf $F$ ‍ liegen (und dann sind wir fertig) oder auf dem anderen Schnittpunkt der Kreise. Da die Punkte $D$ ‍ und $E$ ‍ jeweils gleich weit von $F$ ‍ und $C^{'}$ ‍ entfernt sind, müssen sie auf der Mittelsenkrechten von $\overset{―}{F C^{'}}$ ‍ liegen. Wenn $C^{'}$ ‍ am zweiten Schnittpunkt liegt, können wir $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ‍ an $\overset{―}{D E}$ ‍ spiegeln, um die Abbildung des $△ A B C$ ‍ auf $△ D E F$ ‍ fertigzustellen.
Seite-Winkel-Seite (SWS)	Sind zwei Paare entsprechender Seiten und der eingeschlossene Winkel kongruent, dann sind die Dreiecke kongruent. Bei $△ A B C$ ‍ und $△ D E F$ ‍ haben wir gegeben: $\overset{―}{A B} ≅ \overset{―}{D E}$ ‍ $∠ B ≅ ∠ E$ ‍ $\overset{―}{B C} ≅ \overset{―}{E F}$ ‍ Da sie kongruent sind, können wir $\overset{―}{A B}$ ‍ durch starre Transformationen auf $\overset{―}{D E}$ ‍ abbilden. Starre Transformationen erhalten die Strecke, also liegt $C^{'}$ ‍ auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt $E$ ‍ und dem Radius $E F$ ‍. Bei starren Transformationen bleibt das Maß des Winkels erhalten, und der Winkel könnte sich auf einer der beiden durch $\overset{―}{D E}$ ‍ definierten Halbebenen öffnen. Der Punkt $F$ ‍ liegt auf dem Schnittpunkt des Kreises und des Strahls in einer Halbebene. Der Punkt $C^{'}$ ‍ muss entweder auf $F$ ‍ liegen (und dann sind wir fertig) oder auf dem Schnittpunkt des Kreises und des Strahls in der anderen Halbebene. Bei Spiegelungen bleiben Strecke und Winkelmaß erhalten. Also, wenn $C^{'}$ ‍ am zweiten Schnittpunkt liegt, können wir $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ‍ an $\overset{―}{D E}$ ‍ spiegeln, um $△ A B C$ ‍ auf $△ D E F$ ‍ abzubilden.
Winkel-Seite-Winkel (WSW)	Sind zwei Paare entsprechender Winkel und die Seiten zwischen ihnen kongruent, dann sind die Dreiecke kongruent. Bei $△ A B C$ ‍ und $△ D E F$ ‍ haben wir gegeben: $\overset{―}{A B} ≅ \overset{―}{D E}$ ‍ $∠ A ≅ ∠ D$ ‍ $∠ B ≅ ∠ E$ ‍ Da sie kongruent sind, können wir $\overset{―}{A B}$ ‍ durch starre Transformationen auf $\overset{―}{D E}$ ‍ abbilden. Bei starren Transformationen bleibt das Maß des Winkels erhalten, und die Winkel können sich auf einer der beiden durch $\overset{―}{D E}$ ‍ definierten Halbebenen öffnen. Der Punkt $F$ ‍ liegt auf beiden Strahlen in einer Halbebene. Der Punkt $C^{'}$ ‍ muss entweder auf $F$ ‍ liegen (und dann sind wir fertig) oder auf dem Schnittpunkt der Strahlen in der anderen Halbebene. Bei Spiegelungen bleiben Strecken erhalten. Also, wenn $C^{'}$ ‍ am zweiten Schnittpunkt liegt, können wir $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ‍ an $\overset{―}{D E}$ ‍ spiegeln, um $△ A B C$ ‍ auf $△ D E F$ ‍ abzubilden.
Winkel-Winkel-Seite (WWS)	Sind zwei Paare entsprechender Winkel und ein Paar entsprechender Seiten (nicht zwischen den Winkeln) kongruent, dann sind die Dreiecke kongruent. Die Innenwinkelmaße eines Dreiecks ergeben zusammen $180 °$ ‍. Also können wir, wenn wir zwei Winkelmaße kennen, das dritte berechnen. Wenn wir alle Winkelmaße kennen, können wir die beiden verwenden, die an die bekannte Seite angrenzen und dann das Kriterium der Winkel-Seite-Winkel-Kongruenz anwenden.
Hypotenuse-Kathete (HK)	Sind in zwei rechtwinkligen Dreiecken die Hypotenuse und eine Kathete kongruent, dann sind die beiden Dreiecke kongruent. Wenn wir zwei Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks kennen, können wir de Dritte mit dem Satz des Pythagoras bestimmen. ${Hypotenuse}^{2} = (Kathete 1)^{2} + (Kathete 2)^{2}$ ‍ Es gibt nur eine positive Lösung der Gleichung, also muss das dritte Seitenpaar der Dreiecke nach dem Seite-Seite-Seite Kriterium kongruent sein.

Möchtest du mehr über die Kongruenzkriterien von Dreiecken lernen? Schau dir dieses Video an.

Warum gibt es keinen Kongruenzsatz Seite-Seite-Winkel?

Wenn zwei Paare entsprechender Seiten und ein Paar entsprechender Winkel (die nicht zwischen den Seiten liegen) kongruent sind, dann können die Dreiecke kongruent sein, sind es aber nicht immer.

Können wir sicher sein, dass zwei Dreiecke nicht kongruent sind?

Ein Dreieck hat nur $3$ ‍ Seiten und $3$ ‍ Winkel. Wenn wir $4$ ‍ unterschiedliche Seitenzahlen oder $4$ ‍ unterschiedliche Winkelmaße kennen, dann wissen wir, dass die beiden Dreiecke nicht kongruent sein können. Manchmal kennen wir Maße, weil sie in der Zeichnung angegeben sind. Ein anderes Mal verwenden wir Hilfen wie der Satz des Pythagoras oder den Satz über die Summe der Innenwinkel im Dreieck, um fehlende Maße zu berechnen.

Manchmal haben wir nicht genügend Information um zu wissen, ob die Dreiecke kongruent sind oder nicht. Wenn wir nur kongruente Winkel oder nur zwei kongruente Größen haben, können die Dreiecke kongruent sein, aber mit Sicherheit wissen wir das nicht.

Zeichnungen sind nicht immer maßstabsgetreu, und so können wir allein anhand der Zeichnung nicht erkennen, ob zwei Dreiecke kongruent sind oder nicht. Das ist besonders wichtig, wenn wir den Seite-Seite-Winkel-Satz anzuwenden versuchen. Auch wenn die kongruenten Winkel rechte Winkel sind, die Zeichnung aber nicht maßstabsgetreu ist, wissen wir nicht genug um zu entscheiden, ob die Dreiecke kongruent sind oder nicht - egal wie sie in der Zeichnung aussehen.

Überprüfe dein Verständnis

Aufgabe 1

Sind die Dreiecke kongruent?
Die Dreiecke sind nicht maßstäblich gezeichnet.

Wähle eine Lösung.

(Auswahl A)
Ja
(Auswahl B)
Nein
(Auswahl C)
Es gibt nicht genug Informationen um eine Antwort zu geben.

Willst du mehr Aufgaben wie diese lösen? Schau dir diese Aufgaben an.

Kongruenz von Dreiecken - Wiederholung (Artikel) | Khan Academy (2024)

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